Question

已知数列{an}满足：a1=0，an+1=an+2an+1+1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{an+1}是等差数列；（Ⅱ）设an＝(bn3

已知数列{an}满足：a1=0，an+1=an+2an+1+1，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{an+1}是等差数列；（Ⅱ）设an＝(bn3n)2-1，求正项数列{bn}的前n和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a_n+1=a_n+2

an+1

+1，n∈N^*，
∴an+1+1＝(

an+1

+1)2．
则：

an+1+1

?

an+1

＝1，
所以数列{a_n+1}是以

a1+1

＝1为首项，公差为1的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an+1

＝n，
∴an＝n2?1．
∵an＝(

bn

3n

)2-1，
∴bn＝n?3n．
∴Sn＝1?3+2?32+3?33+…+n?3n，…①
3Sn＝1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1，…②
由①-②得：S_n=

3

4

+

(2n?1)3n+1

4

．