Question

如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C(a,b)和D(b,-a)（a、b均大

如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C(a,b)和D(b,-a)（a、b均大于0）； (1)连接OD、CD，求证：∠ODC=45 0 ；(2)连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；(3)若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求⊿OCA 的面积。

Answer 1

(1)证明见解析；（2）135°；（3） .

试题分析：（1）过C点、D点向x轴、y轴作垂线，运用勾股定理计算，结合全等可证； （2）连接DA，证△OCB≌△ODA（SAS），可得AD=CB=1，而OC=OD=2，故CD=2 ，根据勾股定理逆定理可证∠ADC=90°，易得∠OCB=∠ODA=135°； （3）作CF⊥OA，F为垂足，有CF 2 =CE 2 -EF 2 ，CF 2 =CA 2 -AF 2 =CA 2 -（AE+EF） 2 ，设EF=x，列出关于x的方程，求得x= ，再在Rt△CEF中，根据勾股定理求得CF= ，然后由三角形的面积公式即可求解． 试题解析：（1）证明：过C点、D点向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N． ∵C（a，b），D（b，-a）（a、b均大于0）， ∴OM=ON=a，CM=DN=b， ∴△OCM≌△ODN（SAS）， ∴∠COM=∠DON． ∵∠DON+∠MOD=90°， ∴∠COM+∠MOD=90°， ∵OC=OD= ， ∴△COD是等腰直角三角形， ∴∠ODC=45°； （2）连接DA． 在△OCB与△ODA中， ， ∴△OCB≌△ODA（SAS）， ∴AD=CB=1，∠OCB=∠ODA． ∵OC=OD=2， ∴CD=2 ． ∵AD 2 +CD 2 =1+8=9，AC 2 =9， ∴AD 2 +CD 2 =AC 2 ， ∴∠ADC=90°， ∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°； （3）作CF⊥OA，F为垂足，由勾股定理得 CF 2 =CE 2 -EF 2 ，CF 2 =CA 2 -AF 2 =CA 2 -（AE+EF） 2 ， 设EF=x，可得5 2 -x 2 =7 2 -（3+x） 2 ， 解得x= ． 在Rt△CEF中，得CF= ， ∴OF=CF= ， ∴△OCA的面积= ?OA?CF= = . 考点: 1.勾股定理；2.全等三角形的判定与性质．