Question

如图所示，已知 AB 为⊙ O 的直径， CD 是弦，且 AB CD 于点E. 连接 AC 、 OC 、 BC 。 （1）求证：

如图所示，已知 AB 为⊙ O 的直径， CD 是弦，且 AB CD 于点E. 连接 AC 、 OC 、 BC 。 （1）求证： ACO = BCD . （2）若E B = ， CD = ，求⊙ O 的直径.

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Answer 1

（1）证明（略） （2）26cm

（1）根据垂径定理和圆的性质，同弧的圆周角相等，又因为△AOC是等腰三角形，即可求证． （2）根据勾股定理，求出各边之间的关系，即可确定半径． 解 答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于E， ∴∠BCD=∠BAC．（3分） ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA． ∴∠ACO=∠BCD．（5分） （2）解：设⊙O的半径为Rcm，则OE=OB-EB=R-8， 在Rt△CEO中，由勾股定理可得 OC 2 =OE 2 +CE 2 ，即R 2 =（R-8） 2 +12 2 解得R=13，∴2R=2×13=26cm． 答：⊙O的直径为26cm．