Question

设函数f(x)＝xex+c（c∈R）（1）求f（x）的单调区间、最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个

设函数f(x)＝xex+c（c∈R）（1）求f（x）的单调区间、最大值；（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）的根的个数．

Answer 1

（1）f′(x)＝

1?x

ex

…（1分）
由f'（x）=0得x=1
当x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1）；单调递减区间是（1，+∞）…（3分）
∴f（x）的最大值为f(1)＝

1

e

+c…（4分）
（2）令g（x）=|lnx|-f（x）=|lnx|-x?e^-x-c，x∈（0，+∞）…（5分）
①当x∈（1，+∞）时，g（x）=lnx-x?e^-x-c
∴g′(x)＝

1

x

?e?x+x?e?x=

1

x

+e?x?(x?1)
∵e^-x＞0，x-1＞0∴g'（x）＞0
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增　　　　　　　　　　　　…（7分）
②当x∈（0，1）时，lnx＜0，g（x）=-lnx-x?e^-x-c
则g′(x)＝?

1

x

+e?x?(x?1)
∵?

1

x

＜?1，e?x＞0，x?1＜0
∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减
综合①②可知，当x∈（0，+∞）时，g（x）≥g（1）=-e^-1-c…（9分）
当g（1）＞0即c＜-e^-1时，g（x）没有零点，故关于方程|lnx|=f（x）的根的个数为0
当g（1）=0即c=-e^-1时，g（x）只有一个零点，故关于方程|lnx|=f（x）的根的个数为1　　　　　　　　　　　　…（11分）
当g（1）＜0即c＞-e^-1时，当x∈（1，+∞）时
由（1）知g(x)＝lnx?xe?x?c≥lnx?(

1

e

+c)＞lnx?1?c
要使g（x）＞0，只需lnx-1-c＞0即x∈（e^1+c，+∞）
当x∈（0，1）时，由（1）知g(x)＝?lnx?xe?x?c≥?lnx?(

1

e

+c)＞?lnx?1?c
要使g（x）＞0，只需-lnx-1-c＞0即x∈（0，e^-1-c）
所以c＞-e^-1时，g（x）有两个零点　　　…（13分）
综上所述，当c＜-e^-1时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为0
当c=-e^-1时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为1
当c＞-e^-1时，关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为2　　…（14分）