Question

已知函数f（x）=-x 3 +ax 2 +b（a、b∈R）．（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f

已知函数f（x）=-x 3 +ax 2 +b（a、b∈R）．（I）若函数f（x）在x=0，x=4处取得极值，且极小值为-1，求f（x）的解析式；（II）若x∈[0，1]，函数f（x）图象上的任意一点的切线斜率为k，当k≥-1恒成立时，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）由f′（x）=-3x 2 +2ax得 x=0或x= 2a 3 . ∴ 2a 3 =4 得a=6．（3分） 当x＜0，f′（x）＜0．当0＜x＜4时，f′（x）＞0． 故当x=0时，f（x）达到极小值f（0）=b，∴b=-1． ∴f（x）=-x 3 +6x 2 -1；（6分） （II）当x∈[0，1]时， k=f′（x）=-3x 2 +2ax≥-1恒成立， 即令g（x）=3x 2 -2ax-1≤0 对一切x∈[0，1]恒成立，（9分） 只需 g(0)=-1≤0 g(1)=2-2a≤0 即a≥1． 所以，实数a的取值范围为[1，+∞）．（12分）