Question

如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，

如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=【 】。 A．1： B．1：2 C． ：2 D．1：

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Answer 1

B。

如图，连接AP， ∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′， ∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°。 又∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′。 在△ABP和△CBP′中，∵ BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB="BC" ，∴△ABP≌△CBP′（SAS）。 ∴AP=P′C。 ∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A。 连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形。∴∠BP′P=45°，PP′=" 2" PB。 ∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形。 设P′A=x，则AP=3x， 在Rt△APP′中， 。 在Rt△APP′中， 。 ∴ ，解得PB=2x。∴P′A：PB=x：2x=1：2。 故选B。