Question

如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂

如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．

Answer 1

解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD= BC= 。 又∵OB=2，∴ 。 （2）存在，DE是不变的。 如图，连接AB，则 。 ∵D和E是中点，∴DE= 。 （3）∵BD=x，∴ 。 ∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=90 0 。 ∴∠2+∠3=45°。 过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF= 。 由△BOD∽△EDF，得 ，即 ，解得EF= x。 ∴OE= 。 ∴ 。

（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD= BC=  ，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。 （2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE= 。 （3）由BD=x，可知 ，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF= ，EF= x，OE= ，即可求得y关于x的函数关系式。 ∵ ，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）， ∴ 。