Question

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，(Ⅰ)求证AB⊥BC；(Ⅱ)如果AB=BC=2 ，求侧面PBC与侧

三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，(Ⅰ)求证AB⊥BC；(Ⅱ)如果AB=BC=2 ，求侧面PBC与侧面PAC所成二面角的大小。

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Answer 1

(Ⅰ)证明：取AC中点O，连结PO、BO， ∵PA=PC，∴PO⊥AC， 又∵侧面PAC⊥底面ABC， ∴PO⊥底面ABC， 又PA=PB=PC， ∴AO=BO=CO， ∴△ABC为直角三角形， ∴AB⊥BC。 (Ⅱ)解：作OD⊥PC于D，连结BD， ∵AB=BC=2 ，AB⊥BC，AO=CO， ∴BO⊥AC，侧面PAC⊥底面ABC， ∴BO⊥侧面PAC，∴BD⊥PC， ∴∠BDO为侧面PBC与侧面PAC所成二面角的平面角， ∵AB=BC=2 ，AB⊥BC，AO=CO， ∴BO=CO= ，PO= ， ∴ ， ∴tg∠BDO= ， ∴∠BDO= ， 即侧面PBC与侧面PAC所成二面角为 。