Question

（2014?南京模拟）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC=60°．在面ABC中，

（2014?南京模拟）如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ACC1是边长为2的菱形，∠A1AC=60°．在面ABC中，AB=23，BC=4，M为BC的中点，过A1，B1，M三点的平面交AC于点N．（1）求证：N为AC中点；（2）平面A1B1MN⊥平面A1ACC1．

Answer 1

证明：（1）由题意，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
又∵平面A₁B₁M与平面ABC交于直线MN，与平面A₁B₁C₁交于直线A₁B₁，
∴MN∥A₁B₁．
∵AB∥A₁B₁，∴MN∥AB，∴

CN

AN

=

CM

BM

．
∵M为AB的中点，∴

CN

AN

=1，
∴N为AC中点．
（2）∵四边形A₁ACC₁是边长为2的菱形，∠A₁AC=60°．
在三角形A₁AN中，AN=1，AA₁=2，
由余弦定理得A₁N=

3

，
故A₁A²=AN²+A₁N²，
∴∠A₁NA=90°，即A₁N⊥AC．
在三角形ABC中，AB=2，AC=2

3

，BC=4，
则BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，即AB⊥AC．
又∵MN∥AB，则AC⊥MN．
∵MN∩A₁N=N，MN?面A₁B₁MN，A₁N?面A₁B₁MN，
∴AC⊥平面A₁B₁MN．
又∵AC?平面A₁ACC₁，
∴平面A₁B₁MN⊥平面A₁ACC₁．