Question

（2010?郑州三模）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=23，且AC=AA

（2010?郑州三模）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=23，且AC=AA1=A1C．（Ⅰ）求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的正切值；（Ⅲ）求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离．

Answer 1

解答：解：（1）因为侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，AA₁?侧面A₁ACC₁，
侧面A₁ACC_1∩底面ABC=AC
所以直线AA₁在底面ABC内的射影为直线AC
故∠A₁AC为侧棱AA₁与底面ABC所成的角
又AC=AA₁=A₁C，所以∠A₁AC=60°为所求． （4分）
（2）取AC，AB的中点分别为M，N，连结A₁M，MN，NA₁
由（1）知A₁M⊥AC
故A₁M⊥底面ABC，A₁M⊥AB
又MN∥BC，∠ABC=90°
所以MN⊥AB，又MN∩A₁M=M，所以AB⊥平面A₁MN
则∠A₁NM即为所求二面角的平面角
在RtA₁MN中，A1M＝

3

2

AC＝3，MN＝

1

2

BC＝1，∠A1MN＝90°
所以tan∠A1MN＝

A1M

MN

＝3，即所求二面角的正切值为3．     （8分）
（3）作BH⊥AC于点H，因为BB₁∥侧面A₁ACC₁
所以点B到侧面A₁ACC₁的距离即为BB₁到侧面A₁ACC₁的距离．
由（1）（2）知，BH的长即为所求
在Rt∠ABC中，BH=

AB?BC

AC

＝

2 6

3

所以侧棱B₁B和侧面A₁ACC₁的距离为

2 6

3

．        （12分）