Question

在平面直角坐标系xOy中，已知顶点为P（0，2）的二次函数图象与x轴交于A、B两点，A点坐标为（2，0）．（1

在平面直角坐标系xOy中，已知顶点为P（0，2）的二次函数图象与x轴交于A、B两点，A点坐标为（2，0）．（1）求该二次函数的解析式，并写出点B坐标；（2）点C在该二次函数的图象上，且在第四象限，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；（3）在（2）的条件下，点D 在y轴上，且△APD与△ABC相似，求点D坐标．

Answer 1

解答：解：（1）设抛物线表达式为y=ax²+2（a≠0）．
把（2，0）代入解析式，解得a＝?

1

2

．
所以 抛物线表达式为y＝?

1

2

x2+2．则B（-2，0）；

（2）如图，过点C作CH⊥x轴，垂足为H．
设点C横坐标为m，则CH＝

1

2

m2?2．
由题意得

1

2

?[2?(?2)]?(

1

2

m2?2)＝12，
解得m=±4．
∵点C在第四象限，
∴m=4．
∴C（4，-6）；

（3）∵PO=AO=2，∠POA=90°，
∴∠APO=45°．
∵BH=CH=6，∠CHB=90°，
∴∠CBA=45°．
∵∠BAC＜135°，
∴点D应在点P下方，
∴在△APD与△ABC中，∠APD=∠CBA．
由勾股定理得PA=2

2

，BC=6

2

．
①当

PD

AB

＝

PA

BC

时，

PD

4

＝

2 2

6 2

．解得PD＝

4

3

．∴D1(0，

2

3

)；
②当

PD

BC

＝

PA

AB

时，

PD

6 2

＝

2 2

4

．解得PD=6．∴D₂（0，-4）．
综上所述，点D坐标为(0，

2

3

)或（0，-4）．