Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM

如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．

Answer 1

证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E， 则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM， ∴∠MCB=∠B， ∵CD平分∠ACB，∠C=90°， ∴∠BCD= 1 2 ×90°=45°， ∴∠MCD=∠MCB-45°=∠B-45°， 又∵∠DEM=∠BEC=180°-∠B-45°=135°-∠B， ∴∠D=90°-∠DEM=∠B-45°， ∴∠D=∠MCD， ∴MD=MC， ∴MD=AM．

Answer 2

证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，
则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，
∴∠MCB=∠B，
∵CD平分∠ACB，∠C=90°，
∴∠BCD= 1 2 ×90°=45°，
∴∠MCD=∠MCB-45°=∠B-45°，
又∵∠DEM=∠BEC=180°-∠B-45°=135°-∠B，
∴∠D=90°-∠DEM=∠B-45°，
∴∠D=∠MCD，
∴MD=MC，
∴MD=AM．