Question

如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△A

如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．（1）求证：∠EAF=45°；（2）求证：EF=DE；（3）求证：BE2+DC2=DE2．

Answer 1

证明：（1）∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴∠FAD=90°，
又∵∠DAE=45°，
∴∠FAE=90°-∠DAE=45°；

（2）∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，
∴△ADC≌△AFB，
∴AD=AF，
在△AED和△AEF中，

AD＝AF ∠DAE＝∠FAE＝45° AE＝AE

，
∴△AED≌△AEF（SAS），
∴EF=DE；

（3）在Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵△ADC≌△AFB，
∴∠ACB=∠ABF，CD=BF，
∴∠ABC+∠ABF=90°，
即∠FBE=90°，
在Rt△FBE中，BE²+BF²=FE²，
∴BE²+DC²=DE²．