Question

（本小题满分14分）如图，椭圆 （ a ＞ b ＞0）的一个焦点为 F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆 C

（本小题满分14分）如图，椭圆 （ a ＞ b ＞0）的一个焦点为 F (1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）若 AB 为垂直于 x 轴的动弦，直线 l : x =4与 x 轴交于点 N ，直线 AF 与 BN 交于点 M .(ⅰ)求证：点 M 恒在椭圆 C 上；(ⅱ)求 △AMN 面积的最大值.

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Answer 1

（1）椭圆 C 方程为 .（2）同解析

解法一： （Ⅰ）由题设 a =2, c =1,从而 b 2 = a 2 - c 2 =3, 所以椭圆 C 方程为 . (Ⅱ)(i)由题意得 F (1,0), N (4,0). 设 A ( m,n ),则 B ( m ,- n )( n ≠ 0), ="1." ……① AF 与 BN 的方程分别为： n ( x -1)-( m -1) y =0， n ( x -4)-( m -4) y =0. 设 M ( x 0 , y 0 ),则有  n ( x 0 -1)-( m -1) y 0 ="0," ……② n ( x 0 -4)+( m -4) y 0 ="0," ……③ 由②，③得 x 0 = . 所以点 M 恒在椭圆 G 上. (ⅱ)设 AM 的方程为 x = xy +1,代入 ＝1得（3 t 2 +4） y 2 +6 ty -9=0. 设 A ( x 1 , y 1 ), M （ x 2 ， y 2 ），则有：y 1 +y 2 = | y 1 - y 2 |= 令3 t 2 +4=λ(λ≥4),则 | y 1 - y 2 |＝ 因为λ≥4，0< | y 1 - y 2 |有最大值3，此时 AM 过点 F . △ AMN 的面积 S △ AMN= 解法二： （Ⅰ）问解法一： （Ⅱ）（ⅰ）由题意得 F (1,0), N (4,0). 设 A ( m , n ),则 B ( m ,- n )(n≠0),              ……① AF 与 BN 的方程分别为： n ( x -1)-( m -1) y ="0,                 " ……② n ( x -4)-( m -4) y ="0,                 " ……③ 由②，③得：当 ≠ .          ……④ 由④代入①，得 =1（ y≠ 0）. 当x= 时，由②，③得： 解得 与a≠0矛盾. 所以点M的轨迹方程为 即点M恒在锥圆C上. （Ⅱ）同解法一.