Question

（2014?南充一模）如图，椭圆x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线A

（2014?南充一模）如图，椭圆x2a2+y2b2＝1 (a＞b＞0)的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点．当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2，求S1S2的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°．
设 F（-c，0），则 

b

c

＝tan60°＝

3

．
将 b＝

3

c代入a²=b²+c²，得a=2c．
所以椭圆的离心率为 e＝

c

a

＝

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ），椭圆的方程可设为

x2

4c2

+

y2

3c2

＝1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x²+4y²=12c²，
整理得 （4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0．
则 x1+x2＝

?8ck2

4k2+3

，y1+y2＝k(x1+x2+2c)＝

6ck

4k2+3

，所以G(

?4ck2

4k2+3

，

3ck

4k2+3

)．
因为 GD⊥AB，所以 

3ck 4k2+3

?4ck2 4k2+3 ?xD

×k＝?1，xD＝

?ck2

4k2+3

．
因为△GFD