Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．（Ⅰ）探究新知如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．（Ⅰ）探究新知如图①，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．（1）求证：内切圆的半径r1=1； （2）求tan∠OAG的值；（Ⅱ）结论应用（1）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2的值；（2）如图③，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值．

Answer 1

（Ⅰ）（1）证明：在图①中，连接OE，OF，OA．
∵⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．
∴OF⊥BC，OE⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CEOF是矩形，
又∵EO=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
CE=CF=r₁．
又∵AG=AE=3-r₁，BG=BF=4-r₁，
AG+BG=5，
∴（3-r₁）+（4-r₁）=5．
即r₁=1．


（2）解：连接OG，在Rt△AOG中，
∵r₁=1，AG=3-r₁=2，
tan∠OAG=

OG

AG

=

1

2

；       
         
（Ⅱ）（1）解：连接O₁A、O₂B，作O₁D⊥AB交于点D、O₂E⊥AB交于点E，AO₁、BO₂分别平分∠CAB、∠ABC．
由tan∠OAG=

1

2

，知tan∠O₁AD=

1

2

，
同理可得：tan∠O₂BE=

O2E

BE

=

1

3

，
∴AD=2r₂，DE=2r₂，BE=3r₂．
∵AD+DE+BE=5，
r₂=

5

7

；
                                
（2）解：如图③，连接O₁A、O_nB，作O₁D⊥AB交于点D、O₂E⊥AB交于点E、…、O_nM⊥AB交于点M．
则AO₁、BO_n分别平分∠CAB、∠ABC．
tan∠O₁AD=

1

2

，tan∠O_nBM=

1

3

，
AD=2r_n，DE=2r_n，…，MB=3r_n，
又∵AD+DE+…+MB=5，
2r_n+2r_n+…+3r_n=5，
（2n+3）r_n=5，
r_n=

5

2n+3

．