Question

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y

已知函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．（1）求f（0）；（2）求证：f（x）＞0恒成立；（3）判断并证明函数f（x）在R上的单调性．

Answer 1

（1）令y=0，x=-1，得f（-1）=f（-1）f（0）…（2分）
∵x＜0时，0＜f（x）＜1，
∴f（-1）＞0…（3分）
∴f（0）=1…（5分）
（2）∵当x＜0时，0＜f（x）＜1
∴当x＞0，则-x＜0，令y=-x，得f（0）=f（x）f（-x）
得f(x)＝

1

f(?x)

＞0…（7分）
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0…（8分）
（3）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，∴0＜f（x₁-x₂）＜1…（10分）
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＜f（x₂）…（12分）
∴函数f（x）在R上是单调递增函数…（13分）