Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{an}满足a1=f（0），f（an+1）=1f(?2?an)（n∈N*），则a2009的值为______．

Answer 1

令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）?f（0），
由题意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a₁=f（0）=1．
当x＞0时，-x＜0，f（0）=f（-x）?f（x）=1，进而得0＜f（x）＜1．
设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
0＜f（x₂-x₁）＜1，f（x₂）-f（x₁）
=f（x₁+（x₂-x₁））-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
即f（x₂）＜f（x₁），所以y=f（x）是R上的减函数．
由f（a_n+1）=

1

f(?2?an)

（n∈N^*），得f（a_n+1）f（-2-a_n）=1，
所以f（a_n+1-a_n-2）=f（0）．
因为y=f（x）是R上的减函数，所以a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2，
所以{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
所以a₂₀₀₉=2×2009-1=4017．
故答案为：4017．