Question

设向量组I=α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性表出，下列命题正确的是（　　）A．若

设向量组I=α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性表出，下列命题正确的是（　　）A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤sB．若向量组Ⅰ线性相关，则r＞sC．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤sD．若向量组Ⅱ线性相关，则r＞s

Answer 1

答案选A。

A：反设r＞s．因为向量组I=α1，α2，…，αr，可由向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性表出，所以向量组α1，α2，…，αr的秩＜s＜r，所以向量组I=α1，α2，…，αr线性相关，矛盾！故r≤s，故A成立．

B：如果向量组Ⅱ=β1，β2，…，βs线性相关，取αi=βi，i=1，…，s，则向量组I线性相关，且r=s，故B不正确．

C：因为向量组II详细相关，故存在βk为非零向量，取αi=iβk，i=1，…，s+1，则向量组I线性相关，但r=s+1＞s，故C不正确．

D：取α1=(1    2    ，−1    2)，β1=（1，-1）T，β2=（-1，1）T，则 α1=1   2    β1+0β2，故向量组I可由向量组II线性表出，但r＜s，故D不正确．

扩展资料：

相关定义

有向线段 规定若线段  的端点为起点，  为终点，则线段就具有了从起点  到终点  的方向和长度。

具有方向和长度的线段叫做有向线段。 

向量的模

向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量  的模记作  。 

注：

1．向量的模是非负实数，向量的模是可以比较大小的。向量  ，  。

2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如  是没有意义的。

单位向量

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量。与  同向，且长度为单位1的向量，叫做  

方向上的单位向量，记作  ，  。

负向量

如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。

零向量

长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。

相等向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。

规定：所有的零向量都相等。

当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。

自由向量

始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。

在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。

数学中只研究自由向量。

参考资料：百度百科——向量

Answer 2

A：反设r＞s．因为向量组I=α₁，α₂，…，α_r，可由向量组Ⅱ=β₁，β₂，…，β_s线性表出，所以向量组α₁，α₂，…，α_r的秩＜s＜r，所以向量组I=α₁，α₂，…，α_r线性相关，矛盾！故r≤s，故A成立．
B：如果向量组Ⅱ=β₁，β₂，…，β_s线性相关，取α_i=β_i，i=1，…，s，则向量组I线性相关，且r=s，故B不正确．
C：因为向量组II详细相关，故存在β_k为非零向量，取α_i=iβ_k，i=1，…，s+1，则向量组I线性相关，但r=s+1＞s，故C不正确．
D：取α₁=(

1

2

，?

1

2

)，β₁=（1，-1）^T，β₂=（-1，1）^T，则 α₁=

1

2

β1+0β2，故向量组I可由向量组II线性表出，但r＜s，故D不正确．
故选：A．

Answer 3

因为向量组1可以由向量组2表示
r(1)<=r(2)<=s
若向量组1线性无关，则r(1)=r,所以r<=s,选A