Question

已知函数f(x)=x^2+(b+1)x+1是定义在[a-2,a]上的偶函数

g(x)=f (x)+|x-t|，其中a.b.t均为常数。(1)求实数a.b的值。(2)是试探讨函数y=g(x)的奇偶性。(3)若-1/2<=t<=1/2,求函数g(x)的最小值

Answer 1

（1）因为函数 f(x) = x^2+(b+1)x+1 是 [a-2，a] 上的偶函数，
所以 b+1 = 0 ，且 a-2+a = 0 ，
解得 a = 1 ，b = -1 。
（2）g(x) = f(x)+|x-t| = x^2+1+|x-t| ，
当 t = 0 时，g(x) = x^2+1+|x| 为偶函数，
当 t ≠ 0 时，g(x) 是非奇非偶函数。
（3）当 -1 ≤ x ≤ t 时，g(x) = x^2+1+t-x = (x-1/2)+3/4+t ，抛物线开口向上，对称轴 x = 1/2 ，
函数在 [-1，t] 上是减函数，因此函数最小值为 g(t) = t^2+1 ；
当 t ≤ x ≤ 1 时，g(x) = x^2+1+x-t = (x+1/2)^2+3/4-t ，抛物线开口向上，对称轴 x = -1/2 ，
函数在 [t，1] 上是增函数，因此最小值为 g(t) = t^2+1 ，
综上，函数 g(x) 的最小值为 t^2+1 。