Question

已知函数f（x）＝x³+ax²－a²x+2（a∈R） 1.当a＞0时，试求函数y＝f（x）单调递减

已知函数f（x）＝x³+ax²－a²x+2（a∈R）
1.当a＞0时，试求函数y＝f（x）单调递减区间
2.当a＝0时，且曲线y＝f（x）在点A、B（A，B不重合）处切线的交点位于直线x＝2上，证明：A，B两点的横坐标之和小于4.

Answer 1

解：(1)求导数 f'(x) = 3x^2+2ax-a^2. = (3x - a)(x+a)
由于a>0 可知 f'(x)在（-a,a/3）处小于零。
故对应于递减区间为(-a,a/3)
(2)a = 0时 f(x) = x^3 + 2; f'(x) = 3x^2;
不妨设A，B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2); 其中y1 = x1^3+2,y2 = x2^3+2
则易求得 对应的切线方程分别为
y = (3x1^2)x +2 - 2x1^3
y = (3x2^3)x +2 - 2x2^3
由于x = 2是两直线的交点 故满足上述两个方程，带入有
2* (3x1^2) +2 - 2x1^3 = 2*(3x2^3) +2 - 2x2^3
3(x1 - x2)(x1+x2) = (x1-x2)(x1^2 + x1*x2 +x2^2)
3(x1+x2 ) = (x1^2 + x1*x2 +x2^2) < (x1+x2)^2
x1+x2 >3 或x1+x2 <0;
算了 ，实在没得到答案

Answer 2

AB