Question

如图，已知△ABC三边长相等，和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h 1 、h 2 、

如图，已知△ABC三边长相等，和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 ，△ABC的高为h．在图（1）中， 点P是边BC的中点，由S △ABP +S △ACP =S △ABC 得 ，可得 又因为h 3 =0，所以： ．图（2）~（5）中，点P分别在线段MC上、MC延长线上、△ABC内、△ABC外． （1）请探究：图（2）~（5）中， h 1 、h 2 、h 3 、h之间的关系；（直接写出结论） （2）说明图（2）所得结论为什么是正确的；（3）说明图（5）所得结论为什么是正确的．

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Answer 1

（1）图②-⑤ 中的关系依次是： h 1 +h 2 +h 3 =h； h 1 -h 2 +h 3 =h； h 1 +h 2 +h 3 =h； h 1 +h 2 -h 3 =h； （2）图②中，h 1 +h 2 +h 3 =h．连结AP， 则S ΔAPB +S ΔAPC =S ΔABC ． 又 h 3 =0，AB=AC=BC， ∴ h 1 +h 2 +h 3 ==h； （3）：图⑤中，h 1 +h 2 -h 3 =h．连接PA、PB、PC，则S ΔAPB +S ΔAPC =S ΔABC +S ΔBPC ． 又 AB=AC=BC， ∴h 1 +h 2 =h+h 3 ． ∴ h 1 +h 2 -h 3 =h