Question

已知关于 x 的实系数二次方程 x 2 + ax + b =0有两个实数根 α 、 β ，证明:| α |<2且| β |<2

已知关于 x 的实系数二次方程 x 2 + ax + b =0有两个实数根 α 、 β ，证明:| α |<2且| β |<2是2| a |<4+ b 且| b |<4的充要条件.

Answer 1

证明略

证明:(1）充分性：由韦达定理，得| b |=| α · β |=| α |·| β |＜2×2=4. 设 f ( x )= x 2 + ax + b ,则 f ( x )的图象是开口向上的抛物线. 又| α |＜2,| β |＜2,∴ f (±2)>0. 即有 4+ b >2 a >－(4+ b ) 又| b |＜4 4+ b >0 2| a |＜4+ b (2)必要性: 由2| a |＜4+ b f (±2)>0且 f ( x )的图象是开口向上的抛物线. ∴方程 f ( x )=0的两根 α ， β 同在(－2，2）内或无实根. ∵ α ， β 是方程 f ( x )=0的实根， ∴ α ， β 同在(－2，2）内，即| α |＜2且| β |＜2.