Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，SA⊥CD，AB⊥平面SAD，M是SC的中点，且SA=AB=BC=2，AD=1．（1）求证：DM∥平面SAB；（2）求四棱锥M-ABCD的体积．

Answer 1

（1）证明：取SB的中点N，连接AN、MN…（2分）

∵点M是SC的中点∴MN∥BC且BC=2MN，
∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，BC=2，AD=1，
∴AD∥BC且BC=2AD，∴MN∥AD且MN=AD，
∴四边形MNAD是平行四边形，∴DM∥AN，…（4分）
∴DM∥平面SAB．…（6分）
（2）解：∵AB⊥底面SAD，SA?底面SAD，AD?底面SAD，
∴AB⊥SA，AB⊥AD，
∵SA⊥CD，AB、CD是平面ABCD内的两条相交直线
∴侧棱SA⊥底面ABCD     …（8分）
又在四棱锥S-ABCD中，侧棱SA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，
∴AD∥BC，AB⊥AD，SA=AB=BC=2，AD=1，
又M是SC的中点．
∴VM?ABCD＝

1

2

VS?ABCD＝

1

2

?

1

3

?SABCD?SA＝

1

2

?

1

3

?

(2+1)?2

2

?2＝1…（12分）