已知,如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B、A、D在一条直线上,连接BE、CD
已知,如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B、A、D在一条直线上,连接BE、CD.(1)求证:BE=CD;(2)若M、N分...
已知,如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B、A、D在一条直线上,连接BE、CD.(1)求证:BE=CD;(2)若M、N分别是BE和CD的中点,将△ADE绕点A按顺时针旋转,如图②所示,试证明在旋转过程中,△AMN是等腰三角形;(3)试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似.
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解答:证明:(1)∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD.
在△ABE与△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD;
(2)由(1)得△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.
∵M,N分别是BE,CD的中点,
∴BM=CN.
在△ABM与△ACN中,
,
∴△ABM≌△ACN,
∴AM=AN,
∴△AMN为等腰三角形;
(3)由(2)得△ABM≌△ACN,
∴∠BAM=∠CAN,
∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN,
即∠MAN=∠BAC,
又∵AM=AN,AB=AC,
∴AM:AB=AN:AC,
∴△AMN∽△ABC;
∵AB=AC,AD=AE,
∴AB:AD=AC:AE,
又∵∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE;
∴△AMN∽△ABC∽△ADE.
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,
即∠BAE=∠CAD.
在△ABE与△ACD中,
|
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD;
(2)由(1)得△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD,BE=CD.
∵M,N分别是BE,CD的中点,
∴BM=CN.
在△ABM与△ACN中,
|
∴△ABM≌△ACN,
∴AM=AN,
∴△AMN为等腰三角形;
(3)由(2)得△ABM≌△ACN,
∴∠BAM=∠CAN,
∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN,
即∠MAN=∠BAC,
又∵AM=AN,AB=AC,
∴AM:AB=AN:AC,
∴△AMN∽△ABC;
∵AB=AC,AD=AE,
∴AB:AD=AC:AE,
又∵∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE;
∴△AMN∽△ABC∽△ADE.
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