Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y2=4x的焦点重合．（1）求椭

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为22，它的一个焦点恰好与抛物线y2=4x的焦点重合．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆的上顶点为A，过点A作椭圆C的两条动弦AB，AC，若直线AB，AC斜率之积为14，直线BC是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由．

Answer 1

（1）由抛物线y²=4x，可得焦点（1，0）又为椭圆的一个焦点，因此c=1，
又离心率e=

2

2

=

c

a

，∴a=

2

，
∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2＝1．
（2）由椭圆的方程可得A（0，1）．
设直线AB的斜率为k，则直线AC的斜率为

1

4k

，
得到直线AB、AC的方程分别为：y=kx+1，y＝

1

4k

x+1．
联立

y＝kx+1 x2+2y2＝2

，化为（1+2k²）x²+4kx=0，
解得x=0或?

4k

1+2k2

，
∴xB＝

?4k

1+2k2

，
∴y_B=

1?2k2

1+2k2

，
∴B(

?4k

1+2k2

，

1?2k2

1+2k2

)．
把点B的坐标中的k换成

1

4k

可得C(

?8k

1+8k2

，

8k2?1

1+8k2

)．
∴k_BC=

4k2+1

2k

．
∴直线AB的方程为：y?

1?2k2

1+2k2

＝

4k2+1

2k

(x+

4k

1+2k2

)，
令x=0，得到y=3．
因此直线BC一定经过一定点（0，3）．