Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增取区间；（2）将函数y=f（x）

已知函数f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，x∈R．（1）求函数f（x）的单调递增取区间；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移 π 4 个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的最大值及取得最大值时的x的集合．

Answer 1

（1） f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x= 2 sin(2x- π 4 ) ， 当 2kπ- π 2 ≤2x- π 4 ≤2kπ+ π 2 ，(k∈Z) 即 kπ- π 8 ≤x≤kπ+ 3π 8 ，(k∈Z) ， 因此，函数f（洞碰x）的单调递增取间为 [kπ- π 8 ，kπ+ 3π 4 ](k∈Z) ． （2）由已知， g(x)= 2 sin(x+ π 4 ) ， ∴当 sin(x+ π 4 )=1，即x+ π 4 =2kπ+ π 2 ，猜颤饥也即x=2kπ+ π 4 (k∈Z) 时， g(x ) max = 2 ． ∴当 {x|x=2kπ+ π 4 (k∈Z)} ，g（x）的穗返最大值为 2 ．