Question

如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，P为△ABC内一点，求证：PA＋PB＋PC＞AB＋AC

如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，P为△ABC内一点，求证：PA＋PB＋PC＞AB＋AC．

Answer 1

证明：以AC为边向外作正△ACE，则E在BA延长线上， 且BE＝AB＋AC，再以AP为边作正△APQ， 使B、Q位于AP两旁，连结QE 在△APC与△AQE中， ∵∠1＋∠2＝∠3＋∠1＝60° ∴∠2＝∠3，又∵AP＝AQ，AC＝AE， ∴△APC≌△AQE，∴QE＝PC， ∵BP＋PQ＋QE＞BE，∴BP＋AP＋CP＞AB＋AC

把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′，再由图形旋转的性质可得出△APP′为等边三角形，再由∠BAC=120°可知∠BAC′=120°+60°=180°、即B，A，C′共线，根据三角形的三边关系即可得出结论． 解：把△APC绕A逆时针旋转60°得到△AP′C′，如图 ∴∠CAC′=∠PAP′=60°，AC=AC′，AP=AP′，PC=P′C′， ∴△APP′为等边三角形， ∴PP′=AP， ∵∠BAC=120°， ∴∠BAC′=120°+60°=180°， 即B，A，C′共线， ∴BC′＜BP+PP′+P′C， 即AB+AC＜AP+BP+CP．