Question

甲乙二人轮流掷一枚均匀的正方体骰子，规定：如果某人某一次掷出1点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其

甲乙二人轮流掷一枚均匀的正方体骰子，规定：如果某人某一次掷出1点，则下一次继续由此人掷，如果掷出其他点数，则由另一人来掷，且第一次由甲掷.设第 n 次由甲掷的概率为 p n ，由乙掷的概率为 q n .(1)计算 p 2 ， p 3 的值；(2)求证{ p n － q n }是等比数列；(3)求 p n .

Answer 1

（1） p 2 ＝， p 3 ＝ p 2 ＋ q 2 ＝；（2）同解析；（3） p n ＝。

(1)由已知， p 1 ＝1, q 1 ＝0 ---1分  p 2 ＝,且 q 2 ＝ p 3 ＝ p 2 ＋ q 2 ＝ (2)由已知， p n ＝ p n －1 ＋ q n －1 , q n ＝ q n －1 ＋ p n －1 ( n ≥2)    两式相减得： p n － q n ＝( p n －1 － q n －1 )＋( q n －1 － p n －1 ) ＝－( p n －1 － q n －1 )  即数列{ p n － q n }是公比为－等比数列；  (3)由(2)得： p n － q n ＝(－) n －1 ( p 1 － q 1 )＝(－) n －1      又 p n ＋ q n ＝1  ∴ p n ＝(－) n －1 ＋ q n ＝(－) n －1 ＋(1－ p n )  ∴ p n ＝(－) n －1 ＋( n ∈ N ＋ )   ∴ p n ＝.