Question

已知a是实数，函数f（x）=2ax 2 +2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

已知a是实数，函数f（x）=2ax 2 +2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

Answer 1

解：若a=0，则函数f（x）=2x-3在区间 [-1，1]上没有零点， 下面就a≠0时分三种情况讨论：  （1）方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有重根 此时Δ=4（2a 2 +6a+1）=0 解得 当 时，f（x）=0的重根x= ； 当 时，f（x）=0的重根 ； 故当方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有重根时， ； （2）f（x）在区间[ -1，1]上只有一个零点且不是f（x）=0的重根 此时有f（-1）f（1）≤0 ∵f（-1）=a-5 f（1）=a-1 ∴（a-5）（a-1）≤0 1≤a≤5 ∵当a=5时，方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两个相异实根， 故当方程f（x）=0在区间[-1，1]上只有一个根且不是重根时，1≤a<5。 （3）方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两相异实根 因为函数 其图象的对称轴方程为 a应满足： 解不等式组（i）得a≥5 解不等式组（ii）得 故当方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两个相异实根时 注意到当1≤a<5时，f（-1）f（1）≤0，方程f（x）=0在区间 [ -1，1]上有根； 当 时，由于 ，且 方程f（x）=0在[ -1，1]上有根； 当 时，方程f（x）=0在区间[-1，1]有根 综上所述，函数y=f（x）在区间[ -1，1]上有零点，则a的取值范围是 。