Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D在AB上，AD=2，点E、F同时从点D出发，分别沿DA、DB以每秒1

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点D在AB上，AD=2，点E、F同时从点D出发，分别沿DA、DB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．（1）当t为何值时，正方形EFGH的顶点G刚好落在线段AC上；（2）当0＜t≤2时，求出s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）当t≥2时，是否存在t的值，使△EGB为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）当0＜t＜2时，如图1-1：GF=2t，AF=2+t
因为△AFG～△ACB，所以

GF

BC

＝

AF

AC

，即

2+t

8

＝

2t

6

，所以t＝

6

5

当2＜t＜8时，如图1-2：GF=4，AF=2+t
因为△AFG～△ACB，所以

GF

BC

＝

AF

AC

，即

2+t

8

＝

4

6

，所以t＝

10

3

即：当t＝

6

5

或t＝

10

3

时，正方形EFGH的顶点G刚好落在线段AC上

（2）①当0＜t≤

6

11

时，s与t的函数关系式是：s=2t?2t=4t²；
②当

6

11

＜t≤

6

5

时，如图2-1所示：HN＝2t?

3

4

(2?t)＝

11

4

t?

3

2

，HM＝

4

3

HN＝

4

3

(

11

4

t?

3

2

)；
s与t的函数关系式是：S＝S正方形EFGH?S△MHN＝4t2?

1

2

?HN?HM
所以s＝4t2?

1

2

?

4

3

?[

11

4

t?

3

2

]2＝?

25

24

t2+

11

2

t?

3

2

；
③当

6

5

＜t≤2时，如图2-2，AF＝t+2，FM＝

3

4

(t+2)，AE＝2?t，EN＝

3

4

(2?t)，
s与t