Question

函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上有最大值14．（1）求a的值；（2）若a，b，c为不等于1的正数，a

函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在[-1，1]上有最大值14．（1）求a的值；（2）若a，b，c为不等于1的正数，ax=by=cz，且1x+1y+1z=0，求abc的值．

Answer 1

（1）令t=a^x，则a^2x=t²，
∴y=t²+2t-1=（t+1）²-2，对称轴t=-1，
若0＜a＜1，则t=a^x是减函数，∴a^-1＞a，
∴0＜a＜t＜

1

a

，
∴y的图象都在对称轴t=-1的右边，开口向上 并且递增，
∴t=

1

a

时有最大值，
∴y=t²+2t-1=14，∴t²+2t-15=0，∴（t-3）（t+5）=0，
∵t＞0，∴t=

1

a

=3，a=

1

3

符合0＜a＜1；
若a＞1则t=a^x是增函数，此时0＜

1

a

＜t＜a，
y的图象仍在对称轴b=-1的右边，∴还是增函数，t=a时有最大值，
∴y=t²+2t-1=14，
t＞0，∴t=a=3，符合a＞1；
综上，a=

1

3

或a=3；
（2）令a^x=b^y=c^z=m，则x=log_am，y=log_bm，z=log_cm，
∴

1

x

+

1

y

+

1

z

=0，即为log_ma+log_mb+log_mc=0，
∴log_mabc=0，∴abc=1．