Question

（2008?临沂）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、

（2008?临沂）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心分别与均AC，BC相切于点D、E．①求⊙O的半径；②求sin∠BOC的值．

Answer 1

解答：解：（1）连接OD，OE，设OD=r
∵AC，BC切⊙O于D，E
∴∠ODC=∠OEC=90°，OD=OE
∵S_△AOC+S_△BOC=S_△ABC
∴

1

2

AC?OD+

1

2

BC?OE=

1

2

AC?BC
即

1

2

×4r+

1

2

×2r=

1

2

×4×2，
∴r=

4

3

．
（2）过点C作CF⊥AB，垂足为F，连接OC，
在Rt△ABC与Rt△OEC中
AB=

42+22

＝2

5

，OC=

( 4 3 )2+( 4 3 )2

＝

4

3

2

∵

1

2

AC?BC=

1

2

AB?CF
∴CF=

AC?BC

AB

＝

4 5

5

∴sin∠BOC=

CF

OC

＝

4 5

5

×

3

4 2

＝

3 10

10

即sin∠BOC=

3 10

10

．