Question

已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=ex，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若?x

已知函数f（x）=ax+lnx，函数g（x）=ex，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），使得不等式g（x）＜x?m+3x成立，试求实数m的取值范围；（Ⅲ）当a=0时，对于?x∈（0，+∞），求证：f（x）＜g（x）-2．

Answer 1

（Ⅰ） 函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝a+

1

x

（x＞0）．
①当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
②当a＜0时，若x∈(0，?

1

a

)，f'（x）＞0，∴f（x）在x∈(0，?

1

a

)上为增函数；
若x∈(?

1

a

，+∞)，f'（x）＜0，∴f（x）在x∈(?

1

a

，+∞)上为减函数．
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数．
当a＜0时，f（x）在(0，?

1

a

)上为增函数，在(?

1

a

，+∞)上为减函数．
（Ⅱ）∵?x∈（0，+∞），使得不等式g(x)＜

x?m+3

x

成立，∴?x∈（0，+∞），使得m＜x?ex

x

+3成立，
令h(x)＝x?ex

x

+3，则h′(x)＝1?ex(

x

+

1

2 x

)，
当x∈（0，+∞）时，∵e^x＞1，

x

+

1

2 x

≥2

x ? 1 2 x

＝

2

，
∴ex(

x

+

1

2 x

)＞1，∴h'（x）＜0，从而h（x）在（0，+∞）上为减函数，∴h（x）＜h（0）=3∴m＜3．
（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx，令φ（x）=g（x）-f（x）-2，则φ（x）=e^x-lnx-2，
∴φ′(x)＝ex?

1

x

，且φ'（x）在（0，+∞）上为增函数．
设φ'（x）=0的根为x=t，则et＝

1

t

，即t=e^-t．
∵当x∈（0，t）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，t）上为减函数；当x∈（t，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（t，+∞）上为增函数，
∴φ(x)min＝φ(t)＝et?lnt?2＝et?lne?t?2＝et+t?2∵φ'（1）=e-1＞0，φ′(

1

2

)＝

e

?2＜0，∴t∈(

1

2

，1)，
由于φ（t）=e^t+t-2在t∈(

1

2

，1)上为增函数，∴φ(x)min＝φ(t)＝et+t?2＞e

1

2

+

1

2

?2＞

2.25

+

1

2

?2＝0，
∴f（x）＜g（x）-2．