Question

已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线AF交BD于点E，交BC于点F，求证：OE= 1

已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线AF交BD于点E，交BC于点F，求证：OE= 1 2 CF．

Answer 1

证明：取AF的中点G，连接OG， ∵O、G分别是AC、AF的中点， ∴OG= 1 2 FC，OG ∥ FC（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）， ∵正方形ABCD， ∴∠OAB=∠ABO=∠OCB=45°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF=∠OAF=22.5°， ∴∠GEO=90°-22.5°=67.5°， ∵GO ∥ FC， ∴∠AOG=∠OCB=45°， ∴∠OGE=67.5°， ∴∠GEO=∠OGE， ∴GO=OE， ∴OE= 1 2 FC．