Question

已知函数f（x）=x 2 -4sinθ?x-1， x∈[-1， 3 ] ，其中θ∈[0，2π]（1）当θ= π 6

已知函数f（x）=x 2 -4sinθ?x-1， x∈[-1， 3 ] ，其中θ∈[0，2π]（1）当θ= π 6 时，求函数f（x）的最大最小值；（2）求θ的取值范围，使y=f（x）在区间[-1， 3 ]上存在反函数．

Answer 1

（1）当θ= π 6 时，f（x）=x 2 -2x-1=（x-1） 2 -2， 函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=1， 故当x∈[-1，1]时，函数单调递减， 当 x∈[1， 3 ] 时，函数单调递增， 故当x=1时，函数取最小值f（1）=-2， 当x=-1时，函数取最大值f（-1）=2； （2）可得f（x）=（x-2sinθ） 2 -1-4sin 2 θ， 函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=2sinθ， 要使函数y=f（x）在区间[-1， 3 ]上存在反函数， 必须使函数在该区间单调，故2sinθ≤-1，或2sinθ ≥ 3 ， 可得sinθ≤- 1 2 ，或sinθ≥ 3 2 ， 解之可得 7π 6 ≤θ≤ 11π 6 ，或 π 3 ≤θ≤ 2π 3 ， 故θ的取值范围为： 7π 6 ≤θ≤ 11π 6 ，或 π 3 ≤θ≤ 2π 3