Question

本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数 是定义域为

本小题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设函数 是定义域为 R 的奇函数．（1）求k值；（2）（文）当 时，试判断函数单调性并求不等式 f ( x 2 ＋2 x )＋ f ( x －4)>0的解集；（理）若 f (1)<0，试判断函数单调性并求使不等式 恒成立的 的取值范围；（3）若 f (1)＝，且 g ( x )＝ a 2 x ＋ a - 2 x －2 m f ( x ) 在[1，＋∞)上的最小值为－2，求 m 的值．

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Answer 1

解(1)∵ f ( x )是定义域为 R 的奇函数， ∴ f (0)＝0，                         …………………… 2分 ∴1-（ k －1）＝0，∴ k ＝2，           …………………… 4分 （2）（文） ， 单调递减， 单调递增，故 f ( x )在 R 上单调递减。 …………………… 6分 原不等式化为： f ( x 2 ＋2 x )> f (4－ x ) ∴ x 2 ＋2 x <4－ x ，即 x 2 ＋3 x －4<0        …………………… 8分 ∴ ， ∴不等式的解集为{ x | }．  …………………………10分 （2）（理） ………………6分 单调递减， 单调递增，故 f ( x )在 R 上单调递减。                                   ………………7分 不等式化为 恒成立，…………… 8分 ，解得 。…………………… 10分 (3)∵ f (1)＝， ，即 ……………………………………12分 ∴ g ( x )＝2 2 x ＋2 －2 x －2 m (2 x －2 － x )＝(2 x －2 － x ) 2 －2 m (2 x －2 － x )＋2. 令 t ＝ f ( x )＝2 x －2 － x ， 由(1)可知 f ( x )＝2 x －2 － x 为增函数 ∵ x ≥1，∴ t ≥ f (1)＝， 令 h ( t )＝ t 2 －2 mt ＋2＝( t － m ) 2 ＋2－ m 2 　( t ≥)………………15分 若 m ≥，当 t ＝ m 时， h ( t ) min ＝2－ m 2 ＝－2，∴ m ＝2………… 16分 若 m <，当 t ＝时， h ( t ) min ＝－3 m ＝－2，解得 m ＝>，舍去……17分 综上可知 m ＝2.                ………………………………18分

略