问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出
问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为...
问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（4，2），要在x轴上找一点C，使AC、BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于x轴的对称点B′，且B′的坐标为（4，-2），连接AB′与x轴交于点C，则点C即为所求，此时AC+BC的最小值为______．（2）实践再运用：如图（c），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为______．（3）运用拓展：如图（d），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．
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（1）如图（b），
∵点B关于x轴的对称点为B′，
∴B′点的坐标为（4，-2），
∴AB′=
=5，
∵CB=CB′，
∴AC+BC的最小值为5；
（2）如图（c），作出点B关于CD的对称点B′，连结OA、OB′，AB′交CD于P′，则BD弧=B′D弧，AP′+P′B=AP′+P′B′=AB′，
∵∠ACD=30°，B为弧AD 的中点，
∴∠AOB=60°，∠DOB′=30°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=2，
∴AB′=
OA=2
，
∴P为运动到P′点，BP+AP有最小值，最小值为2
；
故答案为5，2
；
（3）如图（d），作BH⊥AC于H，BH交AD于E′，作E′F′⊥AB于F′，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴E′H=E′F′，
∴BE′+E′F′=BE′+E′H=BH，
在Rt△ABH中，AB=10，∠BAC=45°，
∴BH=
AB=5
，
∴当E点在E′点的位置时，BE+EF有最小值，最小值为5
∵点B关于x轴的对称点为B′，
∴B′点的坐标为（4，-2），
∴AB′=
| 42+(1+2)2 |
∵CB=CB′，
∴AC+BC的最小值为5；
（2）如图（c），作出点B关于CD的对称点B′，连结OA、OB′，AB′交CD于P′，则BD弧=B′D弧，AP′+P′B=AP′+P′B′=AB′，
∵∠ACD=30°，B为弧AD 的中点，
∴∠AOB=60°，∠DOB′=30°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=2，
∴AB′=
| 2 |
| 2 |
∴P为运动到P′点，BP+AP有最小值，最小值为2
| 2 |
故答案为5，2
| 2 |
（3）如图（d），作BH⊥AC于H，BH交AD于E′，作E′F′⊥AB于F′，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴E′H=E′F′，
∴BE′+E′F′=BE′+E′H=BH，
在Rt△ABH中，AB=10，∠BAC=45°，
∴BH=
| ||
| 2 |
| 2 |
∴当E点在E′点的位置时，BE+EF有最小值，最小值为5
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