Question

在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足PA⊥PB，（1）求动点P的轨迹方程；（2）若

在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（1，0），动点P满足PA⊥PB，（1）求动点P的轨迹方程；（2）若过点Q（1，2）的直线l与点P的轨迹有且只有一个交点，求直线l的方程．

Answer 1

（1）设P（x，y），
∵PA⊥PB，A（-1，0），B（1，0），
∴

PA

=（-1-x，-y），

PB

=（1-x，-y），
∴由

PA

?

PB

＝0，得（-1-x）?（1-x）+（-y）²=0，
即x²-1+y²=0，…（3分）
则动点P轨迹方程为x²+y²=1（y≠0）；…（4分）

（2）由直线l与点P的轨迹有且只有一个交点，
故分两种情况考虑：
①当直线l与圆相切时，
若斜率存在，设l：y=k（x-1）+2，
即kx-y+2-k=0由

|2?k|

1+k2

＝1，得k＝

3

4

，
此时直线l方程为：3x-4y+5=0，符合题意，…（7分）
若斜率不存在，此时方程：x=1，与圆x²+y²=1切于点B，不符合题意；…（8分）
②当直线l与圆相交时，直线QA与轨迹仅有一个交点，
∵A（-1，0），Q（1，2），
此时直线l的方程为：y=

2?0

1?(?1)

（x+1），即y=x+1，符合题意，
综上所述：所求直线l的方程为：3x-4y+5=0或x-y+1=0．…（10分）