Question

（1）证明当0＜x＜1时，sinπ2x＞x；（2）设x0∈（0，1），xn+1=sinπ2xn，证明{xn}收敛，并求其极限

（1）证明当0＜x＜1时，sinπ2x＞x；（2）设x0∈（0，1），xn+1=sinπ2xn，证明{xn}收敛，并求其极限．

Answer 1

（1）令F（x）=sin

πx

2

?x（0≤x≤1），则F（0）=F（1）=0．
因为?x∈（0，1），
F′（x）=

π

2

cos

πx

2

?1，
F″（x）=?

π2

4

sin

πx

2

＜0，
所以F（x）在[0，1]上为严格凸函数．
由上凸函数的定义，?x∈（0，1），
F（x）=F（（1-x）?0+x?1）＜（1-x）?F（0）+x?F（1）=0，
即：当0＜x＜1时，sin

πx

2

＞x．
（2）当0＜x＜1时，sin

πx

2

＞x，
所以x_n+1=sin

π

2

xn＞x_n，
从而{x_n}为单调递增序列．
又因为x₀∈（0，1），
所以x_n+1=sin

π

2

xn＜sin

π

2

=1，
从而，0＜x₁≤x_n＜x_n+1＜1，①
即：数列{x_n}{x_n}为单调有界数列，从而收敛．
设

lim

n→∞

xn＝X．
因为x_n+1=sin

π

2

xn，
令n→∞可得，
X=sin

πX

2

，
故X=0或1．
注意到①，由极限的保序性可得，
0＜x₁≤X≤1，
所以X=1，
即：

lim

n→∞

xn＝1．