Question

已知关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．

已知关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0（1）求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）k为何值，方程的两根之积等于6．（3）若△ABC的两边AB，AC的长度是该方程的两个根，第三边BC=5，问：k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．

Answer 1

解答：（1）证明：△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）
=1，
∵△=1＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得k²+3k+2=6，解得k₁=1，k₂=-4；
（3）解：由于AB≠AC，则AB=BC=5时，把x=5代入x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0得25-5（2k+3）+k²+3k+2=0，解得k₁=3，k₂=4，
当k=3时，△ABC的周长=5+2k+3=5+6+3=14；当k=4时，△ABC的周长=5+2k+3=5+8+3=16．