Question

已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0. （1）求证：方程有两个不相等的实数根.

已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.

（1）求证：方程有两个不相等的实数根.

（2）若△ABC的两边AB,AC的长是方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.

Answer 1

如下：

（1）证明：∵ 关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0中，a=1,b=-（2k+1）,c=k2+k。

∴ Δ=b2-4ac=［-（2k+1）］2-4×1×（k2+k）＝1＞0。

∴ 方程有两个不相等的实数根。

（2）解：∵ 由x2-（2k+1）x+k2+k=0，得（x-k）［x-（k+1）］=0。

∴ 方程的两个不相等的实数根为x1=k,x2=k+1。

∵ △ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5，∴ 有如下两种情况：

情况1：x1=k=5，此时k=5，满足三角形构成条件。

情况2：x2=k+1＝5，此时k=4，满足三角形构成条件。

综上所述，k=4或k=5。

一元二次方程解法：

一、直接开平方法

形如（x+a)^2=b，当b大于或等于0时，x+a=正负根号b，x=-a加减根号b；当b小于0时。方程无实数根。

二、配方法

1、二次项系数化为1

2、移项，左边为二次项和一次项，右边为常数项。

3、配方，两边都加上一次项系数一半的平方，化成（x=a)^2=b的形式。

4、利用直接开平方法求出方程的解。

三、公式法

现将方程整理成：ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a，(b^2-4ac大于或等于0）即可。

四、因式分解法

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解，那么优先选用因式分解法。

Answer 2

（1）证明：∵ 关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0中，a=1,b=-（2k+1）,c=k2+k，
∴ Δ=b2-4ac=［-（2k+1）］2-4×1×（k2+k）＝1＞0.
∴ 方程有两个不相等的实数根.
（2）解：∵ 由x2-（2k+1）x+k2+k=0，得（x-k）［x-（k+1）］=0，
∴ 方程的两个不相等的实数根为x1=k,x2=k+1.
∵ △ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5，∴ 有如下两种情况：
情况1：x1=k=5，此时k=5，满足三角形构成条件；
情况2：x2=k+1＝5，此时k=4，满足三角形构成条件.
综上所述，k=4或k=5.