Question

已知函数 f(x)=lnx- 1 4 x+ 3 4x ，g（x）=x 2 -2bx+4．若对任意x 1 ∈（0，2），存

已知函数 f(x)=lnx- 1 4 x+ 3 4x ，g（x）=x 2 -2bx+4．若对任意x 1 ∈（0，2），存在x 2 ∈[1，2]，使f（x 1 ）≥g（x 2 ），则实数b取值范围是______．

Answer 1

对任意x 1 ∈（0，2），存在x 2 ∈[1，2]，使f（x 1 ）≥g（x 2 ）， ∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可． ∵函数 f(x)=lnx- 1 4 x+ 3 4x （x＞0） ∴f′（x）= 1 x - 1 4 + -3 4 x 2 =- (x-1)(x-3) 4 x 2 ， 若f′（x）＞0，则1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，则x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数； f（x）在x∈（0，2）上有极值， f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x） min =f（1）= - 1 4 + 3 4 = 1 2 ∵g（x）=x 2 -2bx+4=（x-b） 2 +4-b 2 ，对称轴x=b，x∈[1，2]， 当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x） min =g（b）=4-b 2 ，由 1 2 ≥4-b 2 ，得b ≥ 14 2 或b≤ - 14 2 ，所以2＞b ≥ 14 2 ． 当b≤1时，g（x）在[1，2]上是增函数，在x=1处取最小值g（x） min =g（1）=1-2b=4=5-2b；由 1 2 ≥5-2b，得b ≥ 9 4 ，与b≤1矛盾，此时无解． 当b≥2时，g（x）在[1，2]上是减函数，在x=2处取最小值g（x） min =g（2）=4-4b+4=8-4b；由 1 2 ≥8-4b，得得b≥ 15 8 ，此时b≥2． 综上所述，b取值范围是[ 14 2 ，2）∪[2，+∞）= [ 14 2 ，+∞) 故答案为： [ 14 2 ，+∞)