Question

已知函数f（x）=lnx- 1 4 x+ 3 4x -1 ．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x

已知函数f（x）=lnx- 1 4 x+ 3 4x -1 ．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=-x 2 +2bx-4，若对任意x 1 ∈（0，2），x 2 ∈[1，2]，不等式f（x 1 ）≥g（x 2 ） 恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=lnx- 1 4 x+ 3 4x -1的定义域是（0，+∞）． f′（x）= 1 x - 1 4 - 3 4 x 2 = 4x- x 2 -3 4 x 2 = -(x-1)(x-3) 4 x 2 ， 由x＞0及f′（x）＞0得1＜x＜3；由x＞0及f′（x）＜0得0＜x＜1或x＞3， 故函数f（x）的单调递增区间是（1，3）；单调递减区间是（0，1），（3，+∞）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增， 所以当x∈（0，2）时， f(x ) min =f(1)=- 1 2 ， 对任意x 1 ∈（0，2），x 2 ∈[1，2]，不等式f（x 1 ）≥g（x 2 ）恒成立， 问题等价于- 1 2 ≥g（x）对任意x∈[1，2]恒成立，即 - 1 2 ≥- x 2 +2bx-4 恒成立． 不等式可变为b ≤ x 2 + 7 2 2x = x 2 + 7 4x ， 因为x∈[1，2]，所以 x 2 + 7 4x ≥2 x 2 × 7 4x = 14 2 ，当且仅当 x 2 = 7 4x ，即x= 14 2 时取等号． 所以b ≤ 14 2 ， 故实数b的取值范围是（ -∞， 14 2 ]．