已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形．（
已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形．（Ⅰ）证明：BN⊥平面B1C1N；（II）求二面角C-NB1-C1的余弦值...
已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形．（Ⅰ）证明：BN⊥平面B1C1N；（II）求二面角C-NB1-C1的余弦值；（III）设M为线段AB的中点，在线段BC上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB1？若存在，指出点P的位置；若不存在，请说明理由．
展开
展开全部
解法一：（Ⅰ）证明
∵该几何体的正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形，
∴BA，BC，BB1两两垂直．
以BC，BB1，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）
则N（0，2，2），B1（0，4，0），C1（2，4，0），C（2，0，0）
∵
?
=（0，2，2）?（0，2，-2）=4-4=0
?
=（0，2，2）?（2，0，0）=0（3分）
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1与B1C1相交于B1，
∴BN⊥平面C1B1N；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
=（0，2，2）是平面C1B1N的一个法向量，（5分）
设
＝(x，y，z)为平面NCB1的一个法向量，
则
∵该几何体的正视图为直角梯形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为矩形，
∴BA，BC，BB1两两垂直．
以BC，BB1，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1分）
则N（0，2，2），B1（0，4，0），C1（2，4，0），C（2，0，0）
∵
| BN |
| NB1 |
| BN |
| B1C1 |
∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1，又NB1与B1C1相交于B1，
∴BN⊥平面C1B1N；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
| BN |
设
| n |
则
