设函数f(x)=3ax2+2bx+c,且有a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.(Ⅰ)求证:a>0,且-2<ba<-1;(Ⅱ)
设函数f(x)=3ax2+2bx+c,且有a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.(Ⅰ)求证:a>0,且-2<ba<-1;(Ⅱ)求证:函数y=f(x)在区间(0,1)...
设函数f(x)=3ax2+2bx+c,且有a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0.(Ⅰ)求证:a>0,且-2<ba<-1;(Ⅱ)求证:函数y=f(x)在区间(0,1)内有两个不同的零点.
展开
1个回答
展开全部
解答:证明:(Ⅰ)∵函数f(x)=3ax2+2bx+c,f(0)>0,f(1)>0,
∴c>0,3a+2b+c>0,…(2分)
由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;
由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,即-2a<b<-a,…(5分)
∴-2<
<-1; …(6分)
(Ⅱ)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点为(-
,
),
由-2<
<-1,得
<-
<
,即有-
∈(0,1),…(8分)
又∵f(0)>0,f(1)>0,f(-
)=-
<0,且图象连续不断,
∴函数y=f(x)在区间(0,-
)与(-
,1)内分别有一个零点,
故函数y=f(x)在(0,1)内有两个不同的零点.…(12分)
∴c>0,3a+2b+c>0,…(2分)
由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;
由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0,即-2a<b<-a,…(5分)
∴-2<
b |
a |
(Ⅱ)抛物线f(x)=3ax2+2bx+c的顶点为(-
b |
3a |
3ac-b2 |
3a |
由-2<
b |
a |
1 |
3 |
b |
3a |
2 |
3 |
b |
3a |
又∵f(0)>0,f(1)>0,f(-
b |
3a |
a2+c2-ac |
3a |
∴函数y=f(x)在区间(0,-
b |
3a |
b |
3a |
故函数y=f(x)在(0,1)内有两个不同的零点.…(12分)
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询