Question

已知数列{a n }满足a 1 =2，a n+1 =2a n -n+1（n∈N + ）．（1）证明数列{a n -n}是等比数列，并求出数列

已知数列{a n }满足a 1 =2，a n+1 =2a n -n+1（n∈N + ）．（1）证明数列{a n -n}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足： b n = n 2 a n -2n （n∈N + ），求数列{b n }的前n项和S n ；（3）比较S n 与 3n 2n+1 的大小．

Answer 1

（1）证法一：由a n+1 =2a n -n+1， 得a n+1 -（n+1）=2（a n -n）， 又a 1 =2，则a 1 -1=1， ∴数列{a n -n}是以a 1 -1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分） 则 a n -n=1× 2 n-1 ， ∴ a n = 2 n-1 +n ．…（4分） 证法二： a n+1 -(n+1) a n -n = 2 a n -n+1-(n+1) a n -n = 2 a n -2n a n -n =2 ， 又a 1 =2，则a 1 -1=1， ∴数列{a n -n}是以a 1 -1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分） 则 a n -n=1× 2 n-1 ，∴ a n = 2 n-1 +n ．…（4分） （2）∵ b n = n 2 a n -2n ， ∴ b n = n 2 a n -2n = n 2 n ．…（5分） ∴S n =b 1 +b 2 +…+b n = 1 2 +2?( 1 2 ) 2 +…+n? ( 1 2 ) n ，…① ∴ 1 2 S n = ( 1 2 ) 2 +2? ( 1 2 ) 3 +…+ （n-1） ? ( 1 2 ) n +n? ( 1 2 ) n+1 ，…② 由①-②，得 1 2 S n = 1 2 + ( 1 2 ) 2 +…+( 1 2 ) 2 -n? ( 1 2 ) n+1 = 1 2 [1- ( 1 2 ) n ] 1- 1 2 -n?( 1 2 ) n+1 =1- (n+2) ( 1 2 ) n+1 ，…（8分） ∴ S n =2-(n+2)? ( 1 2 ) n ．…（9分） （3） S n - 3n 2n+1 =2-（n+2） ? ( 1 2 ) n - 3n 2n+1 = n+2 2n+1 -(n+2)? ( 1 2 ) n = (n+2)?[ 2 n -(2n+1)] (2n+1)? 2 n ， 当n=1时， S n ＜ 3n 2n+1 ； n=2时， S n ＜ 3n 2n+1 ； n≥3时， 2 n = C 0n + C 1n +…+ C n-1n + C nn ＞ C 0n + C 1n + C n-1n =2n+1， ∴ S n - 3n 2n+1 ＞0 ， ∴ S n ＞ 3n 2n+1 ． 综上：n=1或2时， S n ＜ 3n 2n+1 ； n≥3时， S n ＞ 3n 2n+1 ．…（12分）