Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(x1x2)＝f(x1)?f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f(x1x2)＝f(x1)?f(x2)，且当x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（1）的值；（2）判断函数f（x）的单调性并加以证明；（3）若f（3）=-1，解关于x不等式f（x2-3x-1）＜-2．

Answer 1

（1）由任意性，令x₁=x₂∈（0，+∞），则f（1）=f（x₁）-f（x₁）=0．
（2）f（x）在（0，+∞）上是减函数．下面证明
证明：任取0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，f(x2)?f(x1)＝f(

x2

x1

)，
∵

x2

x1

＞1，又由已知 f(

x2

x1

)＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）f(3)＝f(

9

3

)＝f(9)?f(3)，由f（3）=-1得f（9）=-2．
则f（x²-3x-1）＜-2，可化为f（x²-3x-1）＜f（9），
∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴x²-3x-1＞9，解得x＜-2或x＞5．
∴原不等式的解集为{x|x＜-2或x＞5}．