（2013?上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联
（2013?上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x...
（2013?上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．
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（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．
∵MQ是线段BP的垂直平分线，
∴BQ=PQ，BM=
BP，∠BMQ=90°，
∴∠MBQ+∠BQM=90°，
∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，
又∵∠A=∠BMQ=90°，
∴△ABP∽△MQB，
∴
＝
，即
＝
，化简得：y=
BP2=
（x2+25）．
当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13-x）2，解得x=1；
又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．
∴y=
（x2+25）（1≤x≤13）．
（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：
设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC-BQ）=x+（13-y）=13+x-y；
∵PQ=BQ，
∴13+x-y=y，即2y-x-13=0
将y=
（x2+25）代入上式得：
（x2+25）-x-13=0，
解此分式方程得：x=
，
经检验，x=
是原方程的解且符合题意．
∴x=
．
（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．
∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．
∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，
而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．
又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，
∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，
∴△CEQ∽△ABP，
∴
＝
，即
＝
，化简得：4x+5y=65，
将y=
（x2+25）代入上式得：4x+
（x2+25）=65，
解此分式方程得：x=
，
经检验，x=
∵MQ是线段BP的垂直平分线，
∴BQ=PQ，BM=
| 1 |
| 2 |
∴∠MBQ+∠BQM=90°，
∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，
又∵∠A=∠BMQ=90°，
∴△ABP∽△MQB，
∴
| BP |
| BQ |
| AP |
| BM |
| BP |
| y |
| x | ||
|
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| 2x |
当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13-x）2，解得x=1；
又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．
∴y=
| 1 |
| 2x |
（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：
设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC-BQ）=x+（13-y）=13+x-y；
∵PQ=BQ，
∴13+x-y=y，即2y-x-13=0
将y=
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| x |
解此分式方程得：x=
| 25 |
| 13 |
经检验，x=
| 25 |
| 13 |
∴x=
| 25 |
| 13 |
（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．
∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．
∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，
而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．
又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，
∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，
∴△CEQ∽△ABP，
∴
| CQ |
| AP |
| EC |
| AB |
| 13?y |
| x |
| 4 |
| 5 |
将y=
| 1 |
| 2x |
| 5 |
| 2x |
解此分式方程得：x=
65±10
| ||
| 13 |
经检验，x=
65±10
|
