Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=n?an+log 12an

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=n?an+log 12an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（n-1）（Sn+2）-Tn＜t+1932n2 对任意n∈N*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
故数列{a_n}是以a₁=2为首项，2为公比的等比数列，
故an＝2?2n?1=2ⁿ．
（2）由（1）得，bn＝n?2n+log

1

2

2n=n?2ⁿ-n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+2?2²+3?2³+…+n?2ⁿ）-（1+2+…+n），
令Rn＝2+2?22+3?23+…+n?2ⁿ，
则2Rn＝22+2?23+3?24+…+n?2ⁿ⁺¹，
两式相减得-Rn＝2+22+23+…+2n-n?2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

?n?2n+1，
∴Rn＝(n?1)2n+1+2，
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-

n(n+1)

2

，
又由（1）得，S_n=2a_n-2=2ⁿ⁺¹-2，
不等式（n-1）（S_n+2）-T_n＜t+

19

32

n² 即为（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-1）2ⁿ⁺¹-2+

n(n+1)

2

＜t+

19

32

n2，即为t＞-

3

32

n2+

1

2

n?2对任意n∈N^*恒成立，
设f（n）=-

3

32

n2+

1

2

n?2，则f（n）=-

3

32

(n?

8

3

)2?

4

3

，
∵n∈N^*，∴f（n）_max=f（3）=-

43

32

，
故实数t的取值范围是（-

43

32

，+∞）．